PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Точки A, B, C лежат на большой окружности сферы так, что треугольник ABC — равносторонний. Если AB = 
то площадь сферы равна:
Значение выражения 
равно:
Найдите периметр правильного шестиугольника, меньшая диагональ которого равна 
Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 432. Точка P лежит на боковом ребре CC1 так, что CP : PC1 = 2 : 1. Через точку P, вершину D и середину бокового ребра AA1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём меньшей из частей.
Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC и секущая AM, проходящая через центр окружности O. Точки B, С, M лежат на окружности (см. рис.). Известно, что BK = 4, AC = 7. Найдите длину отрезка AK.
Определите наименьшее натуральное число, кратное 2, которое при делении на 11 с остатком дает неполное частное, равное 5.
Диагонали трапеции равны 15 и 20. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 12,5.
Свежие фрукты при сушке теряют a % своей массы. Укажите выражение, определяющее массу сухих фруктов (в килограммах), полученных из 60 кг свежих.
Точка A движется по периметру треугольника KMP. Точки K1, M1, P1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 11 : 2, считая от вершин. По периметру треугольника K1M1P1 движется точка B со скоростью, в семь раз большей, чем скорость точки A. Сколько раз точка B обойдет по периметру треугольник K1M1P1 за то время, за которое точка A два раза обойдет по периметру треугольник KMP?
На изготовление 25 письменных столов расходуется 3,4 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины потребуется на изготовление 110 таких столов?
На рисунке изображены развернутый угол AOM и лучи OB и OC. Известно, что ∠AOC = 102°, ∠BOM = 128°. Найдите величину угла BOC.
Найдите модуль разности наибольшего и наименьшего корней уравнения 
Четырехугольник MNPK, в котором ∠N=142°, вписан в окружность. Найдите градусную меру угла K.
Найдите количество всех целых решений неравенства 
Найдите сумму целых решений неравенства 
Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 
Упростите выражение
Уравнение 
равносильно уравнению:
Пусть (x1; y1), (x2; y2) — решения системы уравнений 
Найдите значение выражения 
Найдите сумму целых решений (решение, если оно единственное) системы неравенств 
Количество целых решений неравенства 
на промежутке 
равно:
Упростите выражение 
;
;
;
;
.Упростите выражение 
Решите уравнение 
В ответ запишите сумму его корней (корень, если он один).
Запишите (3x)y в виде степени с основанием 3.
Найдите произведение корней уравнения 
Найдите наибольшее целое решение неравенства 
Пусть 
Найдите значение выражения 2A.
Найдите наименьший положительный корень уравнения 
Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства 
Упростите выражение 
Найдите значение выражения 
если 
Найдите количество корней уравнения 
на промежутке 
Найдите произведение корней уравнения 
Количество целых решений неравенства 
равно ...
В арифметической прогрессии 90 членов, их сумма равна 990, а сумма членов с нечетными номерами на 90 больше суммы членов с четными номерами. Найдите тридцатый член этой прогрессии.
Найдите сумму целых значений x, принадлежащих области определения функции
График функции, заданной формулой y = kx + b, симметричен относительно начала координат и проходит через точку A (3; 12). Значение выражения k + b равно:
На диаграмме показано количество покупателей в период проведения акции в магазине. В какой день количество покупателей товара по акции составило менее 30% от количества всех покупателей в этот день?
На координатной плоскости изображен тупоугольный треугольник ABC с вершинами в узлах сетки (см. рис.). Косинус угла ABC этого треугольника равен:
Сумма наибольшего и наименьшего значений функции
равна:
Из города А в город В, расстояние между которыми 300 км, одновременно выезжают два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 20 км/ч больше скорости второго, но он делает в пути остановку на 45 мин. Найдите наибольшее значение скорости (в км/ч) первого автомобиля, при движении с которой он прибудет в В не позже второго.
Одна из сторон прямоугольника на 7 см длиннее другой, а его площадь равна 98 см2. Уравнение, одним из корней которого является длина меньшей стороны прямоугольника, имеет вид:
Для покраски стен общей площадью 250 м2 планируется закупка краски. Объем и стоимость банок с краской приведены в таблице.
| Объем банки (в литрах) | Стоимость банки с краской (в рублях) |
|---|---|
| 2,5 | 85 000 |
| 10 | 270 000 |
Какую минимальную сумму (в рублях) потратят на покупку необходимого количества краски, если ее расход составляет 0,14 л/м2?
Укажите номер рисунка, на котором изображены фигуры, симметричные относительно прямой l.
Площадь сферы равна 
раз больше его стороны. Поэтому сторона равна 6, периметр — 36.
проведем KP||OM, K
Таким образом, MNKPD — искомое сечение.
тогда 
тогда 
Аналогично находим отношение 
следовательно, это искомый объём. Тогда его объём равен 181.
где p — полупериметр треугольника ACM, который равен: 
Тогда получим:
Таким образом, 
и 
и треугольники M1K1P1 и MKP подобны, получаем 
Тогда 
Тогда точка B обойдет периметр 52 раза.
Тогда 
м3.
и 
Таким образом:
наименьший корень уравнения 
модуль разности наибольшего и наименьшего корней уравнения равен 8.
совпадает со знаком разности 
имеем:
корни знаменателя 
Поэтому: 
Целые решения — числа 0, 1, 2, 9. Их сумма равна 12.
имеем: 
Корни знаменателя 
кратности 2:
Следовательно, существует только 3 целых решения. 
Тогда имеем:
получим: 
Сделаем замену 
Решим уравнение:
или 
Первое уравнение решений не имеет, поскольку 
Рассмотрим второе уравнение: 
он указан под номером 2.
тогда:
Поэтому наибольшее целое значение — 52, наименьшее целое значение −2, их сумма равна 50.
поэтому косинус отрицателен. Далее имеем:
Тогда:
. Рассмотрим значения x при различных значениях n:
5 корней.
тогда 
откуда 
то есть 
или 
Заметим, что по смыслу задачи 
и что на 
возрастает как сумма возрастающих функций. 
неравенство верно для всех x из 
который содержит 24 целых числа.
где d — разность арифметической прогрессии. 
откуда 
Следовательно, согласно условию, имеем:
Получим 
Поскольку прямая проходит через точку A с координатами (3; 12), 
Значение выражения k + b равно 4.
имеем:
Таким образом, наибольшее значение скорости первого автомобиля — 100 км/ч.
— длина большей стороны. Площадь прямоугольника равна: 
Тогда получаем:
л краски. Можно купить 3 банки по 10 литров и 2 банки по 2 литра, тогда минимальная сумма составит: 